<strong>Artykułem, który uzyskał Nagrodę Dziekanów, jako najlepszy artykuł roku akademickiego 2007/8 w miesięczniku matematyczno-fizycznym "Delta" został tekst "Największa liczba na świecie". </strong>Opublikowano go w trzecim tegorocznym numerze pisma. Jego autorem jest Tomasz Bartnicki z Uniwersytetu Zielonogórskiego. Nagroda będzie wręczona 22 stycznia 2009 roku na posiedzeniu Rady Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego.<br /><br />
We wspomnianym artykule autor pokazuje, jak ogromna jest największa z dotychczas użytych przez matematyków liczb naturalnych. Przypomina, że dostała się ona do Księgi Rekordów Guinessa i że nie da się jej zapisać w układzie dziesiętnym. Zastanawia się, jak powstała ona w wyniku dociekań w teorii grafów, kto ją opisał i jaki podał jej wzór.
Aby zrozumieć, co kryje się pod pojęciem "największa liczba na świecie" należy podążając za autorem wyobrazić sobie najpierw proste zdarzenie, że oto w jakimś miejscu spotyka się sześć osób, i jak to zwykle bywa - część z nich się zna się ze sobą, część nie. Można udowodnić twierdzenie, że zawsze, w wśród dowolnej grupy złożonej z sześciu osób znajdziemy albo trzy osoby, które się wzajemnie znają (każda z każdą) albo trzy osoby, które się nie znają (żadna z żadną).
Twierdzenie to udowadnia się poprzez narysowanie grafu (każdą z sześciu osób utożsamiamy z innym wierzchołkiem grafu, a każdą parę wierzchołków (osób) łączymy krawędzią. Układ znajomości przedstawiamy w ten sposób, że każdej z krawędzi nadajemy jeden z dwóch kolorów ( na przykład zielony i czarny) - odpowiednio dla osób, które się znają i nie. Dowód sprowadza się do pokazania, że przy dowolnym tego typu pokolorowaniu zawsze znajdziemy trzy wierzchołki połączone krawędziami w jednym kolorze (tzw. graf pełny zwany też kliką K3).
Powstaje pytanie czy twierdzenie to można uogólnić i odwrócić stawiając pytanie jak duża musi być grupa osób, by na pewno pojawiła się w niej czwórka osób znających się i czwórka osób wzajemnie sobie nieznanych. Takie same pytania można sformułować dla pięciu, sześciu i więcej osób. W roku 1930 Frank Ramsey udowodnił to twierdzenie, a najmniejszą liczbę, która spełnia ów warunek - w każdej z rozpatrywanych sytuacji - nazwano jego nazwiskiem.
Jak wspomina autor artykułu można powiedzieć, że jest to twierdzenie o nieuchronności pojawiania się regularności w odpowiednio dużych strukturach - dla każdego małego obiektu matematycznego można znaleźć odpowiednio dużą strukturę, w której obiekt musi się pojawić.
Powstało jednak pytanie, czy istnieje jakiś wzór, według którego można by za każdym razem wyznaczyć liczbę Ramseya? Dla dwóch osób (znających się bądź nie) osób grupa może się składać najmniej z dwóch osób, dla trzech - z sześciu osób, dla czterech - z 18 osób. Problem pojawia się nieoczekiwanie już przy pięciu osobach, gdyż w takim przypadku należałoby zbadać graf o 903 krawędziach, a chcąc przeanalizować wszystkie możliwe rodzaje ich pokolorowania trzeba by rozpatrzyć liczbę przypadków wyrażających się liczbą 10 do potęgi 271. To przekracza możliwości aktualnie działających na świecie superkomputerów. W oczywisty sposób sprawa z wyznaczeniem kolejnych, "wyższych" liczb Ramseya wygląda jeszcze gorzej.
Rzecz komplikuje się jeszcze bardziej, gdy próbujemy rozważać także grafy przestrzenne. W roku 1971 Ronald Graham i Bruce Rotschild udowodnili twierdzenie uogólniające rezultaty uzyskane przez Ramseya. Udowodnili tezę mówiącą o tym, że istnieje taka naturalna liczba n, że w dowolnym dwukolorowym kolorowaniu grafu pełnego powiązanego z n-wymiarową kostką jednostkową zawsze pojawi się płaska, jednokolorowa klika K4 (odpowiednio dla opisanej wcześniej sytuacji - grupa 4 znających się osób bądź nie).
Matematycy użyli nowych, specjalnie zdefiniowanych symboli, by dokonać zapisu owej liczby n, która powstaje przez kolejne potęgowanie liczby 3 (potęguje się zawsze to, co otrzymało się z potęgowania wcześniejszego uzyskując wielokrotne złożenia działań). W ten sposób już po kilku krokach, przy 3 do potęgi 27 mamy do czynienia z liczbą rzędu siedmiu bilionów, a by zapisać końcową postać owej liczby - zwanej liczbą Grahama - kroków trzeba wykonać 62. Jest ona tak wielka, że nie da się jej zapisać w układzie dziesiętnym. Nie ma też takiego obiektu ani zjawiska w materialnym Wszechświecie, do którego opisu potrzebna byłaby taka liczba.
Liczba Grahama trafiła w roku 1997 do Księgi Rekordow Guinessa i jak pisze autor - należy sądzić, że pozostanie tam jeszcze na długie lata.
PAP - Nauka w Polsce, Waldemar Pławski
bsz
Aby zrozumieć, co kryje się pod pojęciem "największa liczba na świecie" należy podążając za autorem wyobrazić sobie najpierw proste zdarzenie, że oto w jakimś miejscu spotyka się sześć osób, i jak to zwykle bywa - część z nich się zna się ze sobą, część nie. Można udowodnić twierdzenie, że zawsze, w wśród dowolnej grupy złożonej z sześciu osób znajdziemy albo trzy osoby, które się wzajemnie znają (każda z każdą) albo trzy osoby, które się nie znają (żadna z żadną).
Twierdzenie to udowadnia się poprzez narysowanie grafu (każdą z sześciu osób utożsamiamy z innym wierzchołkiem grafu, a każdą parę wierzchołków (osób) łączymy krawędzią. Układ znajomości przedstawiamy w ten sposób, że każdej z krawędzi nadajemy jeden z dwóch kolorów ( na przykład zielony i czarny) - odpowiednio dla osób, które się znają i nie. Dowód sprowadza się do pokazania, że przy dowolnym tego typu pokolorowaniu zawsze znajdziemy trzy wierzchołki połączone krawędziami w jednym kolorze (tzw. graf pełny zwany też kliką K3).
Powstaje pytanie czy twierdzenie to można uogólnić i odwrócić stawiając pytanie jak duża musi być grupa osób, by na pewno pojawiła się w niej czwórka osób znających się i czwórka osób wzajemnie sobie nieznanych. Takie same pytania można sformułować dla pięciu, sześciu i więcej osób. W roku 1930 Frank Ramsey udowodnił to twierdzenie, a najmniejszą liczbę, która spełnia ów warunek - w każdej z rozpatrywanych sytuacji - nazwano jego nazwiskiem.
Jak wspomina autor artykułu można powiedzieć, że jest to twierdzenie o nieuchronności pojawiania się regularności w odpowiednio dużych strukturach - dla każdego małego obiektu matematycznego można znaleźć odpowiednio dużą strukturę, w której obiekt musi się pojawić.
Powstało jednak pytanie, czy istnieje jakiś wzór, według którego można by za każdym razem wyznaczyć liczbę Ramseya? Dla dwóch osób (znających się bądź nie) osób grupa może się składać najmniej z dwóch osób, dla trzech - z sześciu osób, dla czterech - z 18 osób. Problem pojawia się nieoczekiwanie już przy pięciu osobach, gdyż w takim przypadku należałoby zbadać graf o 903 krawędziach, a chcąc przeanalizować wszystkie możliwe rodzaje ich pokolorowania trzeba by rozpatrzyć liczbę przypadków wyrażających się liczbą 10 do potęgi 271. To przekracza możliwości aktualnie działających na świecie superkomputerów. W oczywisty sposób sprawa z wyznaczeniem kolejnych, "wyższych" liczb Ramseya wygląda jeszcze gorzej.
Rzecz komplikuje się jeszcze bardziej, gdy próbujemy rozważać także grafy przestrzenne. W roku 1971 Ronald Graham i Bruce Rotschild udowodnili twierdzenie uogólniające rezultaty uzyskane przez Ramseya. Udowodnili tezę mówiącą o tym, że istnieje taka naturalna liczba n, że w dowolnym dwukolorowym kolorowaniu grafu pełnego powiązanego z n-wymiarową kostką jednostkową zawsze pojawi się płaska, jednokolorowa klika K4 (odpowiednio dla opisanej wcześniej sytuacji - grupa 4 znających się osób bądź nie).
Matematycy użyli nowych, specjalnie zdefiniowanych symboli, by dokonać zapisu owej liczby n, która powstaje przez kolejne potęgowanie liczby 3 (potęguje się zawsze to, co otrzymało się z potęgowania wcześniejszego uzyskując wielokrotne złożenia działań). W ten sposób już po kilku krokach, przy 3 do potęgi 27 mamy do czynienia z liczbą rzędu siedmiu bilionów, a by zapisać końcową postać owej liczby - zwanej liczbą Grahama - kroków trzeba wykonać 62. Jest ona tak wielka, że nie da się jej zapisać w układzie dziesiętnym. Nie ma też takiego obiektu ani zjawiska w materialnym Wszechświecie, do którego opisu potrzebna byłaby taka liczba.
Liczba Grahama trafiła w roku 1997 do Księgi Rekordow Guinessa i jak pisze autor - należy sądzić, że pozostanie tam jeszcze na długie lata.
PAP - Nauka w Polsce, Waldemar Pławski
bsz
Fundacja PAP zezwala na bezpłatny przedruk artykułów z Serwisu Nauka w Polsce pod warunkiem mailowego poinformowania nas raz w miesiącu o fakcie korzystania z serwisu oraz podania źródła artykułu. W portalach i serwisach internetowych prosimy o zamieszczenie podlinkowanego adresu: Źródło: naukawpolsce.pl, a w czasopismach adnotacji: Źródło: Serwis Nauka w Polsce - naukawpolsce.pl. Powyższe zezwolenie nie dotyczy: informacji z kategorii "Świat" oraz wszelkich fotografii i materiałów wideo.
