Fraktale to geometryczne obiekty, które wyglądają tak samo oglądane zarówno z daleka, jak i z bardzo bliska.

Twórcą pojęcia fraktala jest wybitny matematyk polskiego pochodzenia, prof. Benoit Mandelbrot z amerykańskiego Uniwersytetu Yale, http://www.yale.edu który przedstawił teorię fraktali w latach 70. Na początku maja profesor Mandelbrot otrzyma prestiżowy Medal Sierpińskiego. Praktyczne zastosowanie fraktale znajdują m.in. do opisywania różnych zjawisk przyrodniczych. Prostym przykładem takiego naturalnego fraktala jest kalafior. Tworzą go kwiaty, które wyglądają podobnie jak cały kalafior: każdy kwiat składa się z mniejszych kwiatów, te z jeszcze mniejszych itd.

TEORIA FRAKTALI PRZYDATNA W MEDYCYNIE

Pojęcie fraktala przydaje się także w medycynie. Tam zostało ono wykorzystane dla określenia budowy płuc ssaków.

\"Przedtem płuca były opisywane jako złożony zbiór rozgałęziających się rurek rozmaitej długości i szerokości. Nie można ich było opisać używając niewielu liczb, więc nie mogły być porównywane z innymi, podobnymi +zbiorami+. Dzisiaj lekarze i anatomowie przyjęli mój model i rozwinęli go do wysokiego poziomu\" - mówi Mandelbrot. Jak dodaje naukowiec, to tylko jedno z zastosowań fraktali w medycynie.

Można ich używać również np. do opisywania poprawy lub pogorszenia stanu pacjenta w przypadku chronicznych chorób, jak np. cukrzycy.

OD CZYSTEJ TEORII DO PRAKTYKI

W latach 60. prof. Mandelbrot zajmował się badaniem matematycznych narzędzi, stworzonych dla celów czysto teoretycznych. Kiedy jednak połączył je z innymi narzędziami stwierdził, że za ich pomocą z powodzeniem można badać praktyczne problemy.

\"Kiedy stosowałem te nowe narzędzia w wielu rozmaitych dziedzinach wiedzy - od finansów do turbulencji powietrza lub hydrologii - zrozumiałem, że pomimo oczywistych różnic wszystkie te dziedziny muszą mieć u swoich podstaw istotną wspólną strukturę\" - wyjaśnia.

Na początku lat 70. Mandelbrot wskazał ten wspólny czynnik. Stwierdził, że we wszystkie te kwestie zaangażowane są obiekty geometryczne, które w całości wyglądają tak samo, jak ich poszczególne części.

\"Nazwałem je +fraktalami+ i zdecydowałem się poświęcić im resztę mojego życia\" - wspomina. - \"Główną przyczyną mojego zainteresowania był fakt, że nikt do tej pory nie próbował do tego zagadnienia podejść, mogłem więc badać je na mój własny sposób, bez pośpiechu\" - wyznaje matematyk.

Wiele teorii naukowych tworzy się +od góry do dołu+, co oznacza, że wychodząc od ogólnych założeń dąży się do poznania ich konsekwencji. \"Moja praca o fraktalach powstawała odwrotnie: +od dołu w górę+. Idąc od szczególnych przypadków tworzyłem generalną teorię\" - wyjaśnia prof. Mandelbrot.

\"GŁADKI\" CZYLI WIELOKROTNIE RÓŻNICZKOWALNY

\"Liczba nowych przykładów wciąż się zwiększała. Bardzo późno zorientowałem się, że otworzyłem nowy kierunek działania w fizyce - kierunek w stronę +chropowatości+, w przeciwieństwie do +gładkości+\" - opowiada Mandelbrot.

Od czasów Newtona i Leibniza (twórców rachunku różniczkowego) matematyka w badaniach fizycznych zajmowała się obiektami gładkimi.

\"+Gładki+ jest terminem technicznym. Oznacza +różniczkowalny dostatecznie wiele razy+\" - objaśnia Paweł F. Góra z Instytutu Fizyki Uniwersytetu Jagiellońskiego. http://www.if.uj.edu.pl/pl

\"Bez zbytniej przesady można powiedzieć, że to dzięki analizie matematycznej i badaniu obiektów +gładkich+ mamy dziś samoloty, komputery, loty na Księżyc, nawigacje GPS i mnóstwo innych rzeczy\" - dodaje fizyk.

Jak podkreśla, analiza matematyczna, czyli dział matematyki zajmujący się takimi obiektami, uważany jest za najważniejszy i stanowi podstawę wykładu matematyki na wszelkich studiach wyższych, na których matematyka jest wykładana.

FRAKTELE NIE SĄ \"GŁADKIE\"

Tymczasem fraktale nie są gładkie. Przeciwnie, są one tak nie-gładkie (\"chropowate\"), jak to tylko możliwe.

\"Proszę sobie wyobrazić linię łamaną. Jest ona gładka pomiędzy załamaniami, ale w miejscach załamań - +chropowata+ (ma +ostrza+)\" - mówi fizyk.

Jeden z klasycznych fraktali, krzywa Kocha, ma nieskończenie wiele załamań. \"Można powiedzieć, ze ma załamanie w każdym punkcie! Jest więc doskonale niegładka, inaczej mówiąc doskonale +chropowata+\" - dodaje.

Podobnie jest z innymi fraktalami. Aby wyglądać tak samo - niezależnie od powiększenia (skali) - obiekt musi być albo nudną, płaską linią prostą, albo przeciwnie - musi być bardzo \"chropowaty\".

Mandelbrot powiada, że bardzo wiele obiektów w przyrodzie (i matematyce) ma tę cechę. \"Wyglądają one tak samo w każdej skali, a tego nie dawało się opisać w +tradycyjnej+ matematyce, badającej obiekty gładkie\" - podkreśla Góra.

* * *

Medal Sierpińskiego, którym honorowani są matematycy o wybitnych osiągnięciach naukowych, a przy tym związani z Polską, przyznawany jest od 1974 r. przez Uniwersytet Warszawski http://www.uw.edu.pl oraz Polskie Towarzystwo Matematyczne. http://www.impan.gov.pl/PTM Jego laureaci wygłaszają ponadto na Uniwersytecie Warszawskim wykład zwany Wykładem im. Wacława Sierpińskiego.

PAP - Nauka w Polsce, Urszula Jabłońska

20 kwietnia 2005

reo