Laików zachwycić może w tych badaniach to, jak z każdym krokiem z nieuporządkowanego zbiorowiska obiektów wyłania się porządek, a fani matematyki dodatkowo docenią, że w takich nieoczywistych okolicznościach pojawiają się spontanicznie linie z rodziny krzywych stożkowych: elipsy, parabole i hiperbole.

PASY RUCHU W POPRZEK JEZDNI

Wyobraźmy sobie ruchliwe przejście dla pieszych: połowa osób tłoczy się po jednej stronie ulicy, a druga połowa - naprzeciwko. Każdy chce bez zderzeń przejść przez jezdnię. Okazuje się, że kiedy zapali się zielone światło i ludzie ruszą przez ulicę, to spontanicznie tworzą oni pasy ruchu - czasem tych pasów jest więcej, czasem mniej, ale generalnie są one równoległe do siebie i do kierunku, w którym zmierzają przechodnie. Po prostu za osobą, która przeciera sobie szlak na drugą stronę, zaczynają iść inne osoby, które też tam podążają.

To spostrzeżenie znane jest akurat od dawna i powielane w różnych wersjach eksperymentów. I tak w 2021 r. Nagrodę igNobla przyznano za pokazanie, że jeśli przechodnie wpatrują się w smartfony, proces wyłaniania się takich pasów ruchu jest zaburzony.

SKOS NA SKRZYŻOWANIU

Mniej znanym eksperymentem jest to, co się dzieje na skrzyżowaniu poprzecznych tras dwóch grup osób. Matematyk dr Karol Bacik z University of Bath tłumaczy w rozmowie z PAP, że tak wygląda to choćby na stacji King's Cross w Londynie. Podróżni wchodzą tam na stację przez wejścia ustawione pod kątem prostym do bramek wyjściowych, do których próbują się z kolei wydostać podróżni wychodzący ze stacji. W tej sytuacji również spontanicznie wyłaniają się pasy ruchu, ale przebiegają one… ukośnie do obu bramek.

PASY MAJĄ ŁADNY WZÓR

Teraz naukowcy pod kierunkiem prof. Tima Rogersa z University of Bath opisali w "Science" matematycznie reguły takiego emergentnego tańca przechodniów w różnych innych układach odniesienia. I przedstawili matematyczną analizę tego, jak takie pasy ruchu w różnych sytuacjach wyglądają.

Dr Karol Bacik wymienia, że w równaniach zapisana jest m.in. gęstość tłumu, spowolnienie ruchu przez napierający tłum, czy niekiedy losowa "dyfuzja" agentów na boki, aby uniknąć zderzeń.

Matematyczny opis zaproponowany przez naukowców zastosować można nie tylko do opisu ruchu przechodniów, ale i cząstek w koloidach czy transportu cząsteczek w wydłużonych komórkach np. nerwowych. Bo również wśród cząstek nie obdarzonych świadomością czy umiejętnością planowania z początkowego nieładu wyłaniać może się spontanicznie porządek.

TANIEC PRZECHODNIÓW NA STOŻKU

I tak badacze z Wielkiej Brytanii i Polski po raz pierwszy pokazali, że czasami pasy ruchu mogą spontanicznie przybierać kształt pewnych charakterystycznych linii krzywych. Jeśli więc na przykład dwie grupy zmierzają do dwóch wyjść, znajdujących się na dwóch bokach sali, pasy ruchu przybiorą kształt… wycinka elipsy.

Jeśli zaś jedna grupa przechodzi np. z dołu do góry pomieszczenia, a druga grupa kieruje się w tym czasie do wyjścia z boku sali, pasy ruchu przybierać mogą kształt paraboli.

Z kolei jeśli jedna grupa wchodzi do sali przez jedno przejście i przechodzi na drugą stronę, spotykając po drodze inną grupę, która zmierza do innego wyjścia - pasy mogą mieć kształt hiperboli.

"Mamy więc tu elipsy, hiperbole i parabole. Matematykom, jak to usłyszą, pewnie zrobi się ciepło na sercu, bo to krzywe należące do jednej rodziny - krzywych stożkowych" - komentuje dr Karol Bacik.

I przypomina, że jeśli weźmie się stożek i przecina go płaszczyzną pod różnymi kątami, brzegi tej bryły wyznaczą na płaszczyźnie różne kształty. Jeśli utnie się stożkowi czubek równolegle do podstawy stożka, krzywa będzie miała kształt okręgu, jeśli pod niewielkim kątem do podstawy - będzie to elipsa, pod większym kątem - parabola, a jeszcze większym - bardziej zbliżonym do pionu kątem - hiperbola. Wszystkie te krzywe da się opisać równaniem drugiego stopnia.

"Pasów ruchu o kształcie wycinka okręgu nie da się raczej uzyskać, ale wszyscy pozostali popularni członkowie tej rodziny krzywych pojawiają się w naszych eksperymentach" - podsumowuje pół żartem dr Bacik.

RODZINA KRZYWYCH ZBADANA PRZEZ RODZINĘ BACIKÓW

Przewidywania teoretyczne naukowcy zweryfikowali w – w eksperymentach z udziałem prawdziwego tłumie - grupy badanych w Katowickiej AWF, przeprowadzonych przez dr hab. Bogdana Bacika. "Eksperymenty te przeprowadził mój tato, który jest biomechanikiem. Nie sądziłem, że ja, jako matematyk, będę z nim kiedyś pracować nad wspólnymi badaniami" - dodaje Karol Bacik.

KWASY ZWIĄZANE Z ZASADAMI

Badacze sprawdzali też, co by było, gdyby do spontanicznego ruchu przechodniów wprowadzono odgórne reguły: np. przechodniów - jak w ruchu drogowym - należało wymijać zawsze z prawej strony. W tej sytuacji również tworzyły się pasy ruchu, ale biegły one ukośnie - były "pochylone" w prawo. A w rezultacie droga pokonywana przez przechodniów stawała się dłuższa niż gdy reguł nie było. "Widać więc, że czasami wprowadzenie reguł zamiast wprowadzać ułatwienia - tylko przeszkadza" - komentuje Karol Bacik.

Naukowiec zwraca uwagę, że opisano już wiele problemów, w których w pewnych warunkach z czegoś, co zdaje się chaotyczną masą, wyłania się regularny wzór. Do tych problemów należy m.in. zagadnienie, dlaczego zebra nie jest szara, ale ma czarne i białe paski, a na piasku na plaży tworzą się regularne zmarszczki. "Pokazujemy, że do tego katalogu zjawisk można dołączyć również tworzenie się pasów ruchu".

PAP - Nauka w Polsce, Ludwika Tomala

lt/ zan/