Za transport ciepła w układach o tak złożonej budowie jak tkanki biologiczne może odpowiadać dyfuzja związana z rozprzestrzenianiem się początkowo skupionych cząsteczek materii albo zjawiska falowe zbliżone do znanych z akustyki. Trzyosobowa grupa teoretyków z Instytutu Fizyki Jądrowej Polskiej Akademii Nauk (IFJ PAN) w Krakowie postanowiła rozwiązać problem transportu ciepła za pomocą równania telegrafisty oraz efektu Dopplera. Wyniki prac zespołu zaprezentowano w artykule opublikowanym na łamach czasopisma „International Journal of Heat and Mass Transfer”.

„Gdy zbliża się pociąg lub nadjeżdża karetka na sygnale, słychać dźwięk o podwyższonej częstotliwości. W momencie mijania częstotliwość zmienia się raptownie na niższą, po czym maleje dalej. To efekt Dopplera, który może pomóc w wyjaśnieniu natury zjawiska pozornie zupełnie niezwiązanego z rozchodzeniem się dźwięku: transportu ciepła” – tłumaczą fizycy z IFJ PAN.

W fizyce ruch falowy jest opisywany za pomocą równania zwanego równaniem falowym. Gdy w drugiej połowie XIX wieku rozwijała się technika telegraficzna, okazało się, że do opisu wiadomości przesyłanej alfabetem Morse’a trzeba zmodyfikować to równanie w taki sposób, aby uwzględnić wygaszanie prądu płynącego przez ośrodek, w którym się on rozchodzi – czyli przez kabel telegraficzny. Z myślą o telekomunikacji powstało wtedy równanie telegrafistów - opisujące, jak prąd elektryczny propaguje się z tłumieniem wzdłuż jednego wymiaru przestrzennego. W ostatnich latach zaczęto je wykorzystywać także do opisu zjawisk związanych z dyfuzją bądź transportem ciepła.

„W rozwiązaniach równania falowego, a więc bez tłumienia, występuje efekt Dopplera, który jest zjawiskiem typowo falowym. Ale czy występuje on także w rozwiązaniach równań telegrafisty związanych z transportem ciepła? Gdyby tak było, mielibyśmy znakomitą przesłankę, by w układach z tłumieniem, na przykład w tkance biologicznej, przepływ ciepła mógł być traktowany jako zjawisko falowe” – mówi cytowana w komunikacie dr hab. Katarzyna Górska z IFJ PAN.

Klasyczny efekt Dopplera to pozorna zmiana częstotliwości fal emitowanych przez źródło poruszające się względem obserwatora. Gdy odległość między źródłem a obserwatorem maleje, maksima i minima emitowanych fal docierają do odbiorcy częściej niż wtedy, gdy odległość między źródłem a obserwatorem się zwiększa. W przypadku fal dźwiękowych wyraźnie słyszymy, że dźwięk nadjeżdżającego pociągu czy syrena zbliżającej się szybko karetki mają zauważalnie wyższe częstotliwości niż wtedy, gdy te pojazdy się od nas oddalają.

„Zjawisko Dopplera występuje w równaniach falowych, o których mówimy, że są lokalne. Lokalność rozumiemy tu w ten sposób, że między akcją a reakcją nie ma żadnego opóźnienia. Lokalne są na przykład zasady mechaniki – zmiana wypadkowej siły działającej na ciało natychmiast skutkuje zmianą jego przyspieszenia. Wszyscy jednak wiemy, że możemy wziąć do ręki gorący kubek i nim poczujemy, że parzy, mija sekunda lub dwie. Zjawisko wykazuje pewne opóźnienie; mówimy, że jest nielokalne, inaczej mówiąc rozmyte w czasie. Czy zatem w uogólnionym równaniu telegrafisty, opisującym układy z rozmyciem czasowym, widać efekt Dopplera?” – poddaje pod rozwagę także cytowany w materiale prasowym prof. dr hab. Andrzej Horzela.

Naukowiec wyjaśnia, że kłopoty z odpowiedzią sprawia sama matematyka. Jeśli w równaniach mamy tylko pochodne i stałe, to zwykle nie ma większych problemów ze znalezieniem rozwiązań. Tak właśnie jest w przypadku równania falowego. Sprawa się komplikuje, gdy w równaniu są same całki, niemniej i wtedy często można sobie poradzić. Tymczasem w uogólnionym równaniu telegrafisty pochodne i całki występują jednocześnie.

Głównym celem artykułu krakowskich fizyków było więc udowodnienie, że rozwiązania uogólnionego równania telegrafisty można skonstruować ze znacznie prostszych do znalezienia rozwiązań równania lokalnego. Kluczową rolę odegrała tu procedura znana w teorii procesów stochastycznych jako subordynacja. W zrozumieniu tej koncepcji subordynacji pomaga następujący przykład. Wyobraźmy sobie człowieka, który nadużył alkoholu, jednakże dzielnie próbuje iść prosto. Robi krok i staje, czekając aż świat przestanie wirować. Następnie robi kolejny krok, zapewne nieco dłuższy lub krótszy od poprzedniego – i znów się zatrzymuje na bliżej nieokreślony czas.

Matematyczny opis takiego ruchu, zwanego błądzeniem przypadkowym, wcale nie musi być trywialny. A przecież tak naprawdę ważne jest nie to, ile czasu „wędrowiec” spędza w danym miejscu, lecz to, jaką drogę ostatecznie pokona. Gdyby czas pomiędzy kolejnymi krokami upływał jednakowo, opis ruchu stałby się prostszy i odpowiadał poruszaniu się trzeźwego człowieka: byłaby to po prostu suma ciągu kolejnych, płynnie po sobie następujących kroków.

„W naszym ujęciu subordynacja polega na zastąpieniu jednorodnie upływającego czasu fizycznego, w którym równania są skomplikowane, pewnym wewnętrznym czasem związanym z czasem fizycznym, co robimy poprzez odpowiednią funkcję zawierającą informacje o czasowej nielokalności procesu. Zabieg ten upraszcza równania do postaci umożliwiającej znalezienie ich rozwiązań” - mówi współautor artykułu mgr inż. Tobiasz Pietrzak, słuchacz Krakowskiej Interdyscyplinarnej Szkoły Doktorskiej, którego prace sfinansowano z grantu Preludium Bis Narodowego Centrum Nauki.

Rozwiązania zwykłego równania telegrafisty wykazują cechy typowe dla zjawiska Dopplera. Widać w nich obecność wyraźnego, ostrego załamania częstotliwości, odpowiadającego chwili, gdy źródło mija obserwatora i dochodzi do natychmiastowej, skokowej zmiany wysokości rejestrowanego przez niego dźwięku. Analogiczne zachowanie krakowscy fizycy zauważyli w rozwiązaniach równania uogólnionego.

Wydaje się zatem, że zjawisko Dopplera jest podstawową cechą ruchu falowego. To jednak nie wszystko. W fizycznym świecie każda fala ma swój front falowy, który w pewnym uproszczeniu można utożsamiać z jej początkiem i końcem. Gdy patrzymy na czoło fali (a zatem na jej front falowy), przesunięcie dopplerowskie łatwo zauważyć. Okazuje się, że zmiany częstości fal, wynikające ze zmian odległości między obserwatorem a źródłem, występują także w przypadku fal niewykazujących istnienia frontu falowego, np. zdefiniowanych na nieograniczonym obszarze.(PAP)

Nauka w Polsce

kol/ bar/